n := 4, a := "408,445|72,349|72,177|368,111|707,177|707,349" 
MsgBox % ((p := InStr(a, "|",,, n-1)) ? SubStr(a, p+1) "|" SubStr(a, 1, p-1) : a)

Про "Тернарный условный оператор" я тебе давал ссылку.
То есть (p := InStr(a, "|",,, n-1)) - это его условие. В данном случае результатом будет присвоение p. Если InStr вернёт 0, то будет ложь, и выполнится то что после :, то есть результат всего выражения просто будет равен а, то есть значению переменной а. Если InStr что то находит он вернёт позицию больше нуля, то есть условие будет правдой, и выполнится то что после ?, то есть SubStr(a, p+1) "|" SubStr(a, 1, p-1).
Это тоже самое что и запись:

n := 4, a := "408,445|72,349|72,177|368,111|707,177|707,349" 

If (p := InStr(a, "|",,, n-1)) != 0
    Res := SubStr(a, p+1) "|" SubStr(a, 1, p-1)
Else
    Res := a
MsgBox % Res

В примере InStr находит позицию третьего | (то есть n-1) в переменной а, и сохраняет его позицию в p.
Res := SubStr(a, p+1) "|" SubStr(a, 1, p-1)
Добавляем в строку результата:

. SubStr(a, p+1) начиная со следующего символа после р (p+1) и до конца вырезаем фрагмент. 

. "|"  добавляем разделитель.

. SubStr(a, 1, p-1) добавляем начало строки (a, 1, p-1) до найденного | (a, 1, p-1).

Res := "368,111|707,177|707,349" + "|" + "408,445|72,349|72,177"

А теперь объясни его действие ТС'у, раз он более простой вариант не понял

По логике думаю даже проще. Если найден разделитель, составляем строку из: после, разделитель, начало.

Почему всё таки 16Кб? Я знаю ограничение на 16383 символов на длину строки. А если текст переменных в AutoHotkey содержится в UTF-16 (2 байта на символ), то получится 8Кб, или я ошибаюсь?
---
Ради разминки, можно ли решить задачу с помощью только одного вызова RegExReplace, не могу сообразить шаблон.

Можно n, можно n-1, смотря как рассматривать этот параметр. Если n взять за номер подстроки (по твоему выражению), то n-1.
Я рассматривал n как величину кругового сдвига начальной строки (для n=1 сдвиг на одну позицию, вторая координата становится первой и т.д.), поэтому подставил в выражение просто n.

При этом предполагается, что длина строки Круговорот не превышает 8Кб

Можешь пояснить, почему 8Кб?
Так понял тут ещё играет роль дублирование строки в SubStr.
---
Лучше наверное записать n-1. Чтобы n совпадало с номером подстроки которая должна стать первой в новой строке:

n := 4, a := "408,445|72,349|72,177|368,111|707,177|707,349"
MsgBox % SubStr(a "|" a, InStr(a, "|",,, n-1)+1, StrLen(a))

Вообще решение очень хорошее, не обращал до этого внимание на параметр Occurrence в InStr.

SubStr отвечает за вырезание, InStr ищет n-ный символ "|", StrLen возвращает длину вырезаемой части - она равна исходной длине строки.

Swap(a, n) { - Не понял!
   Return SubStr(a "|" a, InStr(a, "|",,,n)+1, StrLen(a)) - Не понял!
}

Круговорот = 408,445|72,349|72,177|368,111|707,177|707,349
MsgBox % Swap(Круговорот, 4)
Return

Swap(a, n) {
   Return SubStr(a "|" a, InStr(a, "|",,,n)+1, StrLen(a))
}

При этом предполагается, что длина строки Круговорот не превышает 8Кб

Более кратко, без функции:

n := 4, a := "408,445|72,349|72,177|368,111|707,177|707,349"
MsgBox % SubStr(a "|" a, InStr(a, "|",,,n)+1, StrLen(a))

Loop, parse, circle, |
    (A_index >= FirstItem) ? (after .= A_LoopField "|") : (before .= A_LoopField "|")

Спасибо еще раз!
А где можно прочитать про такую конструкцию записи ?

Твой вариант хорош, можно чуть короче записать:

FirstItem = 4
circle = 408,445|72,349|72,177|368,111|707,177|707,349
 
Loop, parse, circle, |
    (A_index >= FirstItem) ? (after .= A_LoopField "|") : (before .= A_LoopField "|")  
MsgBox, % reshuffle := SubStr( after before, 1, -1)

Знал бы инглиш, то написал бы Lexikos`у о проблеме в команде Sort.

up:
Хотя скорее всего это я не понимаю что должна делать опция

Number_start = 4
circle = 408,445|72,349|72,177|368,111|707,177|707,349

Sort, circle, P%Number_start% D|

MsgBox, % circle

Не верно работает.
Получаю сортировку по первому числу в таком виде:
368,111|707,177|707,349|408,445|72,177|72,349
Нужно в таком:
368,111|707,177|707,349|408,445|72,349|72,177