Только Indomito думает, что Hwnd контрола меняется.

Нет, я знаю что не меняется, извиняюсь за неудачный пример.
У меня много окон и много контролов, вот и пришлось оформить это как переменную, что бы оформить как одну подпрограмму.

Ещё раз извиняюсь.

Gui, New
...
Gui, Add, Text, y7 w200 h16 vStateMsg HwndStateMsgHwnd,Qwerty
...
GuiControl,,%StateMsgHwnd%,Hotkey is pressed

Хотя в моем случае Gui, New действительно был лишним.
...Да, а самая главная причина ошибки - в невесть откуда взявшемся предположении, что AHK-скрипт, не использующий GUI в явном виде, вообще не создает GUI.
В этом случае Gui, New выглядел логичным созданием (единственного) окна. А на самом деле он создавал второй экземпляр GUI со всеми вытекающими последствиями.
Что-ж, всем спасибо за науку!

GuiControl,,StateMsg,%A_index%

т. е. без явного указания имени окна, производит операции над контролом StateMsg в окне по умолчанию для этой ветки. Для веток, созданных событиями окна (например, нажатием на кнопку), окном по умолчанию является окно, создавшее ветку, поэтому при нажатии на кнопку проблем не возникает.

Для веток, не созданных окнами, в том числе созданных горячими клавишами, окном по умолчанию является окно с номером 1. Команда же Gui, New создаёт окно без имени и без номера, поэтому GuiControl в данном случае не срабатывает.

Куски из скрипта - рабочего, весь не привожу, в нём "чёрт ногу сломит".

;Создать
Gui, Add, Text, HWNDhText Hidden, %ovTxt%
;Показать
GuiControl, Show, %hText%
;Удалить
GuiControl, Delete, %hText%  ; А лучше GuiControl, Disable, %hText%

Это работает, думаю та же проблема и с окном у тебя.

P.S. Я попытался по алгоритму выше менять имя кнопки(не подпрограммы реакции), имя откатывается на первоначальное.

В этом случае создаст второе окно и работа с ним будет по умолчанию...

Но этот пример не противоречит моему миропониманию и не объясняет причину неработоспособности в моем случае, ибо в моем коде создается новое окно и принимается в качестве "умолчального". Когда же я жму горячую клавишу, то и вывод идет в умолчальное окно, созданное последним. А вот этого-то и не происходит.
В чем мое недопонимание?

Gui add,text,,Окно1, надпись 1
Gui show, w200 h200

Gui new
Gui add,text,,Окно2, надпись 1
Gui show, w200 h200 x400

А в этом, скрипт добавит надпись в первое окно и обновит его.

Gui add,text,,Окно1, надпись 1
Gui show, w200 h200

Gui add,text,,Окно1, надпись 2
Gui show, w200 h200 x400

Если убрать

Gui, New

, то всё должно работать.

И действительно работает!
Спасибы огромные!
Нутром чуял, что дело в деталях, но не знал, в каких. А деталь оказалась в стороне от моего понятия устройсва мира (в частности, оператора Gui, New) и в очередной раз перетрясла относительно стройную картинку.
И хотя задача решена, прошу объяснить смысл Gui, New.
Потому что в моем понимании это - команда явного создания нового окна, в отличии от неявного создания при первом появлении команды Gui, Add.
Разве не так?

P.S. К сожалению, в английском не настолько силен, чтобы полностью понимать статьи в оригинале.

Gui, New

, то всё должно работать.

Gui, New

?

Gui, New
Gui, Add, Text, y7 w200 h16 vStateMsg,Qwerty
Gui, Add, Button, y5 w38 h16, Btn
Gui, Add, Button, y5 w38 h16, Cycle
Gui, Show
Return

GuiClose:
    ExitApp
ButtonBtn:
    GuiControl,,StateMsg,Gui button is pressed
return
ButtonCycle:
    Loop, 5
    {
        GuiControl,,StateMsg,%A_index%
        Sleep, 1000
    }
return
^!+F1::
    GuiControl,,StateMsg,Hotkey is pressed
MsgBox Hotkey is pressed
return

Проверял в разных версиях AHK, на разных машинах, на разных осях (XP, 7).