Такая возможность существует или же нет?

Наверно существует, но результат не будет стоить усилий. Вам придётся установить хук на некоторые winapi функции.

MouseGetPos также может определять хендл контрола вместо его ClassNN, смотрите параметр flag.

Я просто делаю кнопки графическим способом, примерно выходит такой код:

  Gui, add, picture, w0 h0 x379 y145 gLabel vButtonDefault, ButtonDefault.png
  Gui, add, picture, w0 h0 x379 y148 gLabel, ButtonPressed.png

Label:
   GuiControl, hide, ButtonDefault
   While GetKeyState("lbutton", "P")
   sleep 0
   GuiControl, show, ButtonDefault
    MouseGetPos, , , WhichWindow, WhichControl
    ControlGetPos, x, y, w, h, %WhichControl%, ahk_id %WhichWindow%
	if WhichControl = static2
Msgbox, Кнопка нажата
Return

WhichControl - хранит контрол элемента, в данной примере это static2.
WindowsSpy тоже покажет static2.

Таким образом я определяю нажатие кнопки, чтобы при отжатие курсор находился непосредственно в координатах кнопки.
Поэтому я хотел изменить именно имя контрола со static2 на имя, к примеру ButtonPressed, чтобы WindowSpy тоже определял имя контрола как ButtonPressed.
Вот то, что на скрине - мне нужно изменить. Такая возможность существует или же нет?

Или я могу как-то вашим способом заменить стандартное определение контрола?
Смысл в этой приблуде лишь в том, чтобы если человек случайно нажал на кнопку, но увёл курсор с кнопки, смог избежать нажатия кнопки.

Gui, Add, Text, w200 vMyText, test
Gui, Show

GuiControlGet, MyText
MsgBox, % MyText

Или можно назначить переменную, в которой будет сохранён хендл контрола, через опцию hwnd:

Gui, Add, Text, w200 hwndhMyText, test
Gui, Show

GuiControlGet, text,, %hMyText%
MsgBox, % text

Второй способ удобнее тем, что контрол определяется однозначно, и в командах GuiControl/GuiControlGet не нужно указывать имя/номер GUI.

Суть вопроса:
Есть ли возможность назначить другое имя контрола определенному объекту?