tf.Close()

либо открывать и закрывать при каждой записи

... выдает ошибку...

1. Какую именно ошибку и в какой строке?
2. Ключевое слово Time нельзя использовать в качестве имени переменной, т.к. это имя одной из стандартных функций (возвращает текущее системное время).
Кроме того, использование промежуточной переменной здесь вообще излишне. Можно так:

tf.Write(Now)

3. Что, уже изменились исходные условия задачи? Первоначально, кажется, речь шла о том, что запись в файл нужно выполнять лишь при изменении состояния подключения.

Dim fso, tf, time, CurrentStatus
CurrentStatus = false
Set fso = CreateObject("Scripting.FileSystemObject") 
Const ForAppending = 8 
Set tf = fso.OpenTextFile("Тест интернет.txt", ForAppending, True) 
time = Now() 
tf.Write(time) 
Set oShell = WScript.CreateObject("WScript.Shell") 
strHost = "www.google.ru" 
strPingCommand = "ping -n 1 -w 300 " & strHost 
ReturnCode = oShell.Run(strPingCommand, 0 , True) 
If ReturnCode = 0 Then 
  If (Not CurrentStatus) Then
    CurrentStatus = true    
    tf.WriteLine "" 
    tf.WriteLine "Есть подключение." 
  End If  
Else 
  If CurrentStatus Then
    CurrentStatus = false
    tf.WriteLine "" 
    tf.WriteLine "Нет подключения." 
  End If  
End If

... на автомате запускался каждые 10 секунд ...

Используйте какой-нибудь подходящий планировщик (стандартный не умеет работать с интервалами времени менее 1 мин.).

Один из вариантов: читайте весь текст и сравнивайте последнюю записанную в него строку с текущим диагностическим сообщением. Если строки совпадают - ничего не пишите, не совпадают пишите.