Именно это и должен делать некий стиль (или екстра стиль), иначе, да, придется "своими силами" или забить на фичу

Просто чтобы добится желаемого у себя можно поместить виртуальный экран сверху основного, ну это очевидно.

Это работает: у меня разнокалиберные мониторы, один 1980х1200 развернут на 90 градусов, а второй пидстаркуватый  SyncMaster 755DFX, используются совместно. Над малым монитором есть виртуальное пространство, где окно действительно спокойно фиксируется в любых видимых и невидимых координатах. Но нужно иметь решение для произвольной конфигурации мониторов. 

Программа уже на выходе, а тут (глубокая?) переделка... А стоит ли "овчинка выделки"(с)? пока не уверен.
И в обоих случаях мы не используем API, а хотелось бы. Но спасибо.

"выпрыгивает". Точне будет сказать, что переместить-то можно, но оставить в новых координатах - нельзя, "выпрыгивает".

А я хочу наводить курсор на это засунутое под край монитора окно, кликать менюшки ( а также менять его размеры, поправлять положение и так далее), работать  с окном как обычно или так, как будто окно притоплено вниз монитора или за вертикальные его края.

Сразу скажу, что менять положение окна без капции проблем нет, это все работает

соскальзывает под (верхний) край окна.

Под верхний край окна или монитора?

Удалить капцию недостаточно. У меня в разработке много разных окон, намоделировался, наупражнялся -  не нашел. Переместить окно и затем перенести курсор/фокус на другое окно не получается, так как первое окно не фиксируется в новых координатах, соскальзывает под (верхний) край монитора.

Нужно что-то еще.

run,notepad.exe
sleep,1000
WinSet,Style,-0x00C00000,ahk_class Notepad  ; для окна Блокнота

Или использовать искусственное перемещение.

WinMove,ahk_class Notepad,,0,-30

Но как добиться, чтобы левый верхний угол не выпрыгивал из-под верхней границы монитора? Приведу пример: окно, в котором идет QuickTV, можно "возить" по всему монитору и даже задвинуть под верхний край монитора,
удовлетворяясь, например, чтением подстрочника)

Прошу помочь коллег, упражнявшихся с различными стилями.